Orice triunghi este isoscel
De la LogicWiki
Se dă triunghiul oarecare ABC. Fie AD bisectoarea unghiului BAC. Fie M mijlocul laturii BC, din care ridicăm mediatoarea laturii BC. Aceasta intersectează bisectoarea în punctul O (în afara sau în interiorul triunghiului). Din O ducem OP perpendiculară pe AB, şi ON perpendiculară pe AC. Unim O cu B şi O cu C.
Bisectoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de laturile unghiului. Rezultă că OP=ON.
Mediatoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului. Rezultă că OB=OC.
În triunghiurile dreptunghice OPB şi ONC, avem ipotenuzele congruente, şi câte o pereche de catete congruente. Conform cazului de congruenţă „ipotenuză-catetă”, ele sunt congruente. Rezultă BP=NC (1).
Triunghiurile APO şi ANO sunt de asemenea congruente, fiind dreptunghice, având ipotenuza comună şi având o pereche de unghiuri congruente. Rezultă AP=AN (2).
Din (1) şi (2), rezultă că AB=AC. Adică triunghiul ABC este isoscel. Adică orice triunghi este isoscel.
Unde este greşeala?